K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

28 tháng 6 2021

Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương x và \(\sqrt{1-y^2}\) có:

x\(\sqrt{1-y^2}\) ≤ \(\dfrac{x^2+1-y^2}{2}\)

Tương tự: \(y\sqrt{1-z^2}\le\dfrac{y^2+1-z^2}{2}\)\(z\sqrt{1-x^2}\le\dfrac{z^2+1-x^2}{2}\)

=> \(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}\le\dfrac{x^2+1-y^2+y^2+1-z^2+z^2+1-x^2}{2}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) => x2 = y2 = z2 = \(\dfrac{1}{2}\)

=> x2 + y2 + z2 = 3x2 = 3.\(\dfrac{1}{2}\) = \(\dfrac{3}{2}\)

23 tháng 5 2021

Có \(\sqrt{\dfrac{xy}{x+y+2z}}=\dfrac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x+y+2z}}\)\(=\dfrac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{\left(1+1+2\right)\left(x+y+2z\right)}}\)\(\le\dfrac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\sqrt{z}}\) (theo bunhia dưới mẫu)\(\le\dfrac{2\sqrt{xy}}{4}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{xy}{x+y+2z}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}\right)\)

Tương tự cũng có:

\(\sqrt{\dfrac{yz}{y+z+2x}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{yz}}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{yz}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}\right)\)

\(\sqrt{\dfrac{zx}{z+x+2y}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{zx}}{\sqrt{z}+\sqrt{y}}+\dfrac{\sqrt{zx}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)\)

Cộng vế với vế ta được:

 \(VT\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{xy}+\sqrt{zx}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)\)

\(\Leftrightarrow VT\le\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{y}+\sqrt{x}+\sqrt{z}\right)=\dfrac{1}{2}\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{9}\)

 

11 tháng 4 2022

hay

 

NV
8 tháng 2 2021

\(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}\right)\Rightarrow ab+bc+ca=2020\)

BĐT trở thành:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+a+b+c+\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le\dfrac{2020.2021}{abc}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{ab+bc+ca}{abc}+a+b+c+\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le\dfrac{2020.2021}{abc}\)

\(\Leftrightarrow a+b+c+\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le\dfrac{2020^2}{abc}\)

Ta có: \(\sqrt{2020+a^2}=\sqrt{ab+bc+ca+a^2}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\dfrac{1}{2}\left(2a+b+c\right)\)

Tương tự:...

\(\Rightarrow\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le2\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow a+b+c+\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le3\left(a+b+c\right)\)

Nên ta chỉ cần chứng minh:

\(3\left(a+b+c\right)\le\dfrac{2020^2}{abc}=\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc}\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\) (hiển nhiên đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\) hay \(x=y=z\)

Với a,b,c dưog thì \(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}+\dfrac{z^2}{c}>=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)

\(P>=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{xy+yz+xz+\sqrt{1+x^3}+\sqrt{1+y^3}+\sqrt{1+z^3}}\)

\(\sqrt{1+x^3}=\sqrt{\left(1+x\right)\left(1-x+x^2\right)}< =\dfrac{2+x^2}{2}\)

Dấu = xảy ra khi x=2

=>\(P>=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x^2+y^2+z^2+6}=\dfrac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+6}\)

Đặt t=(x+y+z)^2(t>=36)

=>P>=2t/t-6

Xét hàm số \(f\left(t\right)=\dfrac{t}{t+6}\left(t>=36\right)\)

\(f'\left(t\right)=\dfrac{6}{\left(t+6\right)^2}>=0,\forall t>=36\)

=>f(t) đồng biến

=>f(t)>=f(36)=6/7

=>P>=12/7

Dấu = xảy ra khi x=y=z=2

AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 9 2021

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\leq \left(\frac{x+1+x^2-x+1}{2}\right)^2=\frac{(x^2+2)^2}{4}$

$\Rightarrow \sqrt{x^3+1}\leq \frac{x^2+2}{2}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\geq \frac{2}{x^2+2}$. Tương tự với các phân thức khác và cộng theo vế:

$\sum \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\geq 2\sum \frac{1}{x^2+2}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\sum \frac{1}{x^2+2}\geq \frac{9}{x^2+y^2+z^2+6}=\frac{9}{12+6}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\geq 2.\frac{1}{2}=1$
Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=2$

8 tháng 3 2021

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số dương $x, y, z$, ta được:$x^{3}+y^{2} \geqslant 2 \sqrt{x^{3} \cdot y^{2}}=2 x y \cdot \sqrt{x}$$y^{3}+z^{2} \geqslant 2 \sqrt{y^{3} \cdot z^{2}}=2 y z \cdot \sqrt{y}$$z^{3}+x^{2} \geqslant 2 \sqrt{z^{3} \cdot x^{2}}=2 z x \cdot \sqrt{z}$Khi đó BĐT đã cho trở thành:$\dfrac{2 \sqrt{x}}{x^{3}+y^{2}}+\dfrac{2 \sqrt{y}}{y^{3}+z^{2}}+\dfrac{2 \sqrt{z}}{z^{3}+x^{2}} \leqslant \dfrac{2 \sqrt{x}}{2 x y \sqrt{x}}+\dfrac{2 \sqrt{y}}{2 y z \sqrt{y}}+\dfrac{2 \sqrt{z}}{2 z x \sqrt{z}}=\dfrac{1}{x y}+\dfrac{1}{y z}+\dfrac{1}{z x} (1)$Mặt khác ta có:$\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}} \geqslant \dfrac{2}{x y} \Rightarrow \dfrac{1}{x y} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}\right)$

CMTT: $\dfrac{1}{y z} \leq \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{z^{2}}\right) ; \dfrac{1}{z x} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{z^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)$Suy ra: $\dfrac{1}{x y}+\dfrac{1}{y z}+\dfrac{1}{z x} \leqslant \dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{z^{2}}(2)$Từ  $(1)$ và $(2)$ ta được: $\dfrac{2 \sqrt{x}}{x^{3}+y^{2}}+\dfrac{2 \sqrt{y}}{y^{3}+z^{2}}+\dfrac{2 \sqrt{z}}{z^{3}+x^{2}} \leqslant \dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{z^{2}}$Dấu " $="$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

 

8 tháng 3 2021

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số dương $x, y, z$, ta được:

$x^{3}+y^{2} \geqslant 2 \sqrt{x^{3} \cdot y^{2}}=2 x y \cdot \sqrt{x}$

$y^{3}+z^{2} \geqslant 2 \sqrt{y^{3} \cdot z^{2}}=2 y z \cdot \sqrt{y}$

$z^{3}+x^{2} \geqslant 2 \sqrt{z^{3} \cdot x^{2}}=2 z x \cdot \sqrt{z}$

Khi đó BĐT đã cho trở thành:

$\dfrac{2 \sqrt{x}}{x^{3}+y^{2}}+\dfrac{2 \sqrt{y}}{y^{3}+z^{2}}+\dfrac{2 \sqrt{z}}{z^{3}+x^{2}} \leqslant \dfrac{2 \sqrt{x}}{2 x y \sqrt{x}}+\dfrac{2 \sqrt{y}}{2 y z \sqrt{y}}+\dfrac{2 \sqrt{z}}{2 z x \sqrt{z}}=\dfrac{1}{x y}+\dfrac{1}{y z}+\dfrac{1}{z x} (1)$

Mặt khác ta có:

$\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}} \geqslant \dfrac{2}{x y} \Rightarrow \dfrac{1}{x y} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}\right)$

CMTT: $\dfrac{1}{y z} \leq \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{z^{2}}\right) ; \dfrac{1}{z x} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{z^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)$

Suy ra: $\dfrac{1}{x y}+\dfrac{1}{y z}+\dfrac{1}{z x} \leqslant \dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{z^{2}}(2)$

Từ  $(1)$ và $(2)$ ta được: $\dfrac{2 \sqrt{x}}{x^{3}+y^{2}}+\dfrac{2 \sqrt{y}}{y^{3}+z^{2}}+\dfrac{2 \sqrt{z}}{z^{3}+x^{2}} \leqslant \dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{z^{2}}$

Dấu " $="$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

NV
18 tháng 4 2021

Đề bài chắc chắn là có vấn đề

Thử với \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\) thì \(VT=\dfrac{\sqrt{2}}{4}< 2\)

NV
18 tháng 4 2021

Như bạn sửa điều kiện thành \(x^3+y^3+z^3=1\) thì dấu "=" không xảy ra

Việc chứng minh vế trái lớn hơn 2 (một cách tuyệt đối) khá đơn giản:

\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\ge\dfrac{x^3}{\dfrac{x^2+1-x^2}{2}}=2x^3\)

Làm tương tự với 2 số hạng còn lại, sau đó cộng vế

Nhưng đẳng thức không xảy ra.

1 tháng 2 2023

Áp dụng BĐT cô si với ba số không âm ta có :

1(�+1)2+�+18+�+18≥31643=34

=> 1(�+1)2≥34−�+14 (1)

Dấu '' = '' xảy ra khi x = 1 

CM tương tự ra có " 1(�+1)2≥34−�+14(2) ; 1(�+1)2≥34−�+14 (3)

Dấu ''= '' xảy ra khi y = 1 ; z = 1 

Từ (1) (2) và (3) => 1(�+1)2+1(�+1)2+1(�+1)2≥34⋅3−�+�+�+34≥94−3���3+34=94−64=34

BĐT được chứng minh 

Dấu '' = '' của bất đẳng thức xảy ra khi x =y =z = 1

:()

2 tháng 6 2018

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\dfrac{1}{\sqrt{x}+2\sqrt{y}}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT trên ta có:

\(\dfrac{1}{3}VP\le\dfrac{1}{9}\cdot3\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}}\right)=\dfrac{1}{3}VT\)

Xảy ra khi \(x=y=z\)